Exjobb

KUNGLIGA TEKNISKA HÖGSKOLAN
Institutionen för Flygteknik

Examensarbete 20-32

UNDERSÖKNING AV VINGPROFILER FÖR MODELLFLYGPLAN
VID LÅGA REYNOLDS TAL

Stockholm den 5.2.1949

.................................. ................................... B. Dillner P.O.Norman

Inl.: 6.2.49 .....................
T. Gullstrand

Godk.: 7.2.49 .....................
T. Gullstrand

INNEHÅLLSFÖRTECKNING
I. ALLMÄNT
II. PROBLEMSTÄLLNING
A. Förutsättning
B. Diskussion punkt för punkt av de önskade egenskaperna.
1. Lågt R_krit 2. Lågt k_min 3. Högt C_Lmax
4. Litet C_ma
5. Lågt dC_l/da_a
C. Sammanfattning
III. PROFILSYSTEMATIK
A. Principiellt
B. Utvalda vingprofiler
C. Bearbetning av de utvalda profilernas tjockleks- och
välvningfördelningar
1. Tjockleksfördelning
2. Välvningsfördelning
D. Systematik
1. Tjockleksfördelning
a. Allmänt
b. Tjockleksfördelning typ DI
c. Tjockleksfördelning typ DII
2. Välvningsfördelning
a. Allmänt
b. Medellinje typ FI
c. Medellinje typ FII
E. Sammanställning av profiler
IV. TEORETISKT STUDIUM AV DE VALDA PROFILERNA
A. Beräkning av a₀, a_ideal och c_m₀medelst “Munks formler”
B. Beräkning av tryckfördelningar enligt Theodorsen-Garrick- Pinkerton
V. FÖRSÖKSAPPARATUR
A. Modellkonstruktion
B. Vindtunnel
C. Mätapparatur
VI. UTVÄRDERINGMETODER
A. Bestämning av koefficienter för lyftkraft och moment
B. Bestämning av profilmotståndskoefficient
C. Vindtunnelkorrektion
VII. FÖRSÖKSPROGRAM
VIII. ERHÅLLNA RESULTAT
IX. DISKUSSION AV FÖRSÖKSRESULTATEN
A. Diskussion av resultatkurvor
1. Lyftkraftskurvor
2. Momentkurvor
3. Motståndskurvor
4. Polarkurvor
5. Glidtal och sjunktal
6. Profilens kvalitetstal som funktion av Reynolds tal
7. Bestämning av profilens R_krit
B. Jämförelse med de teoretiska beräkningarna
1. Munks formler
2. Tryckfördelningsberäkningar
C. Jämförelse med några av Schmitz' resultat
X. SAMMANFATTNING
XI. SAMMANSTÄLLNING AV ANVÄNDA BETECKNINGAR
XII. LITTERATURREFERENSER
BILAGA
Figurblad 1-4
Diagram 1-36

UNDERSÖKNING AV VINGPROFILER FÖR MODELLFLYGPLAN
VID LÅGA REYNOLDS TAL
av
B. Dillner och P.O.Norman

I. ALLMÄNT
Ingen gren inom flygtekniken torde vara så vanlottad med teoretiskt och experimentellt underlag för sitt rätta bedrivande som modellflyget. Vad som främst gjort sig kännbart är bristen på data för vingprofiler vid de låga Reynoldsska tal som här äro aktuella.
Visserligen kände man relativt tidigt (1938) till att en vingprofils egenskaper försämrades med minskande hastighet (ref 1&2), men några systematiska undersökningar hade ej gjorts ned till det aktuella R-området och stor förvirring rådde. Man behöver blott erinra om “Nimbus-diskussionen” i tidskriften Flygning omkring årsskiftet 1941-42.
I slutet av 1942 publicerades så den första verkligt vetenskapliga undersökningen utförd av F.W.Schmitz (ref 3) Denne hade undersökt 5 st vingprofiler i området R=21 000–168 000, och hans bok har blivit den vingprofilintresserade modellflygarens bibel. Hans för bedömande av förhållandena vid låga R synnerligen representativt valda profiler innefatta dock ej någon speciellt lämplig modellplanprofil, möjligen undantagandes den välvda plattan.
Med ledning av de riktlinjer Schmitz uppdragit har nya och en del utan tvekan mycket lämpliga modellplanprofiler konstruerats. En viss osäkerhet råder emellertid fortfarande då ingen av dessa nya profiler undersökts i vindtunnel. I varje fall har oss veterligt inga resultat presenterats och det enda underlaget för bedömande av deras lämplighet har varit de med respektive profiler försedda modellflygplanens prestanda.
Ett flagrant bevis på det mörker som fortfarande råder på vissa håll är den av USA:s främste modellflygprofet år 1944 publicerade bok (ref 4) där Reynolds tal omnämnes endast på ett ställe (sid 462) och i följande korta ordalag “– a mathematical quality representing the fact that large areas lift more per square foot than smaller areas at the same speed”.
Avsikten med föreliggande examensarbete är att i någon mån och efter vår ringa förmåga försöka kasta något ljus över förhållandena vid låga R. Vi ha därför utvalt 8 st för modellflyget av i dag representativa och såsom goda ansedda profiler och av dessa genom ett slags interpolationsförfarande utkristalliserat 3 st matematiskt definierade “normalprofiler”. Dessa tre ha sedan undersökts teoretiskt och inom ramen för detta examensarbete har även en undersökts experimentellt. Det undersökta området omfattar R=20 000 – 206 000. Lyftkraft, moment och motstånd för profilen har bestämts medelst tryckfördelnings- resp. impulsmätning i KTH tvådimensionella kanal. De övriga två profilerna avse att undersökas experimentellt senare.
II. PROBLEMSTÄLLNING
A. Förutsättning
För att en vingprofil skall vara lämplig för modellflygplan bör den uppfylla nedanstående villkor:
1. Lågt kritiskt Reynolds tal (R_krit)
2. Lågt sjunktal (k) vid aktuellt R och C_L3. Högt C_L_maxvid aktuellt R
4. Lågt C_m_ac
5. Liten vindbykänslighet (lågt dC_L_/da)
Av dessa äro de tre första de viktigaste. Nedan följer en orientering om aktuella data för några klasser i de nu gällande svenska modellflygreglerna.

Tabell I.

Klass Vingyta Vingkorda Vingbel. Flyghast. C_L R 10³dm²^cmg/dm²^m/sS₁^{<15 10-15 10-20 4-8 0,5-1,0 28-84}S_int24-26 13-18 16-25 5-9 0,5-1,0 64-113
G₁ <7 9-12 10-15 4-7 0,5-1,0 25-59
G_int_{12,25-13,55 10-15 18-25 5-9 0,5-1,0 35-95

Intressant skulle även sjunkhastigheten ha varit men några tillförlitliga värden härpå har ej kunnat erhållas.}B. Diskussion punkt för punkt av de önskade egenskaperna:
1. Lågt R_krit
De flesta vingprofiler genomlöpa i området R<200 000 ett kritiskt område där deras egenskaper språngvis katastrofalt försämras i det att lyftkraften minskar och motståndet ökar. Detta beror på en väsentlig förändring av strömningen kring profilen, vilket i sin tur beror på förhållandena i gränsskiktet.
Omslaget mellan laminärt och turbulent gränsskikt kan ske på många sätt beroende på Reynolds tal. Vid låga dylika sker omslaget oftast genom att det laminära gränsskiktet avlöses och sedan åter ansluter till ytan som ett turbulent gränsskikt (ref 3, s 57).Vid underkritisk strömning sker ej en sådan återanliggning utan gränsskiktet börblir avlöst. Överlägsenheten hos det överkritiska tillståndet beror på det turbulenta gränsskiktets större förmåga att följa ytan mot den positiva tryckgradient som alltid finns längs den bakre delen av en profils översida.
Problemet är alltså först och främst att undersöka vilka faktorer som bestämma om återanliggning sker eller ej. Laminär avlösning sker om det längs ytan finns en positiv tryckgradient av tillräcklig storlek. Läget av avlösningspunkten beror till största delen på tryckfördelningen kring profilen och är, för en given tryckfördelning, tämligen oberoende av R. Huruvida det skall bli återanliggning eller ej beror däremot i hög grad på R och även på tryckfördelningen efter avlösningspunkten. Fortsätter den positiva tryckgradienten med samma storlek efter avlösningspunkten försvåras återanliggningen så att denna sker först vid ett mycket högt R eller helt omöjliggöres. Minskar den positiva tryckgradienten, eller finns strax efter avlösningspunkten en negativ sådan, finns det goda förutsättningar för att få återanliggning även vid relativt låga R. Den laminära avlösningspunkten bör alltså ligga långt fram tätt följd av återanliggningspunkten så att gränsskiktet blir turbulent framför profilens högsta punkt och kan övervinna den positiva tryckgradienten över profilens bakre del. En önskvärd tryckfördelning bör då principiellt ha nedanstående utseende.

Fig.1 Lämplig tryckfördelning för lågt R_krit_.

För att erhålla denna önskade tryckfördelning kan man gå tillväga på följande sätt. Sugtoppen vid framkanten kan erhållas genom att ge profilen en liten nosradie och att anblåsa den med en vinkel större än a_ideal. Den negativa tryckgradienten strax efteråt kan erhållas genom att ge profilen en stor framkantvälvning eller genom att ha maximala tjockleken långt fram. Lustigt nog är detta just de två kriterier man empiriskt kommit fram till. Man har sagt att en bra modellplanprofil skall ha liten nosradie och stor lutning hos profilens översida. Se nedanstående figur.

Fig.2 Utseende av profilnos för lågt R_krit_.2. Lågt k_min
Detta betyder att man måste ha ett litet motstånd och att detta skall vara fallet även vid höga lyftkraftvärden. Då man ej kan påverka profilens friktionsmotstånd är det alltså på dess formmotstånd som man kan vinna något. Om man tänker sig att man genom åtgärder enligt 1 fått profilen in i det överkritiska området har man därmed sänkt profilens motstånd avsevärt genom att man sluppit ifrån den laminära totalavlösningen. Genom att göra profilen relativt tunn samt spetsig i bakkanten kan man även minska risken för turbulent avlösning i bakkanten. Enligt 1 skulle mananblåsa profilen med en större vinkel än a_ideal. Vidare måste man flyga med hög lyftkraftskoefficient för att få lågt k_min. Detta leder till en stor välvning på profilen så att a_ideal ligger strax under den aktuella anfallsvinkeln.
3. Högt c_Lmax
Detta är nödvändigt om modellflygplanet skall kunna utnyttja en eventuell termikanslutning. Om c_Lmaxligger alltför nära det c_L som ger k_minblir flygplanet överstegrat vid minsta termikstöt. Genom en kraftig välvning kan man påverka c_Lmax i fördelaktig riktning.
4. Litet c_m_ac
Detta är ej så väsentligt då ett modellflygplan i allmänhet har en relativt stor stabiliseringsyta (upp till 1/3 av vingytan är tillåtet) men är givetvis önskvärt ur trimingssynpunkt. Genom lämpligt val av medellinje kan en del vinnas. Rak medellinje är ej möjligt enligt föregående och en dubbelkrökt är ej heller lämpligt. Det lämpligaste torde vara att ha maximala välvningen långt fram och medellinjen relativt mycket krökt före maximum och därefter möjligast rak.
5. Lågt dc_L/da
Detta är liksom 4 ej så väsentligt men är givetvis önskvärt eftersom fpl då ej bringas alltför mycket ur jämvikt vid en termikanslutning. Många profiler ha emellertid vid låga R en relativt brant lutning på lyftkraftskurvan speciellt vid låga c_L-värden beroende på lokala avlösningsfenomen vid bakkanten speciellt framträdande om denna är rundad eller relativt tjock (ref.14,s11-27). Önskvärt är därför att profilens tjockleksfördelning mot bakkanten är så jämn som möjligt samt slutar i en spets.

C. Sammanfattning
Den diskuterade problemställningen leder alltså fram till följande synpunkter på utformningen av en vingpropil för modellflygplan.
1. Medellinje
Karakteristik: Med hänsyn till:
Stor välvning k_min och c_L_max
Max välvning långt fram R_krit och c_m_ac
Främre delen mycket krökt R_krit och c_m_ac
Bakre delen rak c_m_acVälvningsfördelningen bör alltså ha nedanstående utseende.

Fig.3 Önskvärd välvningsfördelning.

2. Tjockleksfördelning

Karakteristik: Med hänsyn till:
Tunn profil k_min
Max tjocklek långt fram R_krit
Liten nosradie R_krit
Spetsig bakkant. k_min och dc_L/da

Tjockleksfördelningen bör alltså ha nedanstående utseende.

Fig.4. Önskvärd tjockleksfördelning.

Den slutliga profilens utseende.

Fig.5. Troligt utseende av god modellflygplanprofil

III. PROFILSYSTEMATIK

A. Principiellt
De vingprofiler som ha använts för denna undersökning ha erhållits på följande sätt.
Först ha ett antal representativa profiler utvalts och värden på tjockleks- och välvningsfördelning längs profilkordan för dessa profiler anskaffats. Tjocklek och välvning har sedan uppritats i gemensamma enhetsdiagram. Man har då kunnat urskilja gemensamma egenskaper hos vissa av profiltyperna, t.ex. max tjocklek långt fram, max. välvning vid ca. 30% av kordan.
De profiler som ha en viss gemensam egenskap i t.ex. välvningfördelning ha sedan sammanställts, medelvärden för deras resp. välvning beräknats och en medelvälvningskurva uppritats. För den så erhållna kurvan har en analytisk funktion y=f(x) sökts som så nära som möjligt ansluter sig till den givna kurvan. På samma sätt ha profiler med någon gemensam egenskap beträffande tjockleksfördelningen behandlats, varvid ansatsen av typ y=f(x) gäller medelkurvan för tjockleksfördelningen. Av dessa analytiska ansatser y=f(x) fordras att funktionen och dess första derivata skall vara kontinuerliga. Detta bör även vara fallet för andra derivatan utom i möjligen i någon enstaka punkt.
På detta sätt ha representativa matematiska uttryck erhållits för de utvalda profilernas välvnings- resp. tjockleksfördelningar. De matematiska funktionerna ha sedan kombinerats på lämpligt sätt så att slutligen ett antal vingprofiler erhållits utgörande representativa medelvärden för de först utvalda profilerna.
De slutligt erhållna profilerna ha lagts till grund för såväl teoretiska beräkningar som vindtunnelförsök.Inom ramen för detta examensarbete har dock endast en av profiltyperna undersökts experimentellt i vindtunnel.

B. Utvalda vingprofiler
De utvalda profilernas utseende samt verkliga benämning framgå av figurblad 1. I fortsättningen anges dessa profiler endast med siffrorna 1-8. Som profilkorda har valts den räta linjen mellan medellinjens fram- och bakkanter.
C. Bearbetning av tjockleks- och välvningsfördelningar
1. Tjockleksfördelning
Tjockleksfördelningarna för profilerna 1-8 framgå av diagram 1. Man kan särskilja främst två typer . Den ena har maximala tjockleken (d_max) långt fram vid 15 à 20 % av kordan räknat från framkanten. Den andra typens d_maxligger vid 25 à 35 % av kordan.
Förhållandet d/d_max (d.v.s. tjockleksfördelningen relativt sitt max-värde har därefter uppritats i två diagram representerande de två ovan nämnda typerna. (diagram 2 och 3). Speciellt i diagram 2 kan man iakttaga vissa diskontinuiteter hos kurvorna. Dessa torde bero på att ifrågavarande profiler från början ej varit matematiskt givna, utan siffervärdena för deras geometri erhållits genom uppmätning på något sätt
_{Varje typ av tjocleksfördelning har därefter analyserats i två delar, en främre del bestående av kurvorna framför maximal tjocklek samt en bakre, belägen bakom samma punkt. För varje del har därefter en medelkurva uppritats för varja typ av}tjockleksfördelning. Härvid har d_max-läget satts =1 utmed x- resp. y-axlarna. Två tillvägagångssätt äro härvid möjliga. Antingen räknar man om koordinaterna för varje profils tjockleksfördelning till y_d_max= x_d_max=1 och drar sedan y-medelvärdena i vissa x-lägen ur de till samma typ hörande profilerna. En enklare metod är att först ta medelvärdena av d/d_maxför vissa %-värden av kordan samt sedan rita upp en medelkurva i systemet y_d_max=x_d_max=1. Vid denna senare metod beräknas ett medelvärde för d_max-läget utmed kordan, vilket senare transformeras till x_d_max=1. Det är den sist nämnda av de ovan beskrivna metoderna som mest använts vid denna undersökning. Att metoderna är likvärdiga i fråga om noggrannhet för det avsedda ändamålet framgår av diagram 4, där d/d_max-värdena för profilerna 1-5 (tillhörande samma typ av tjockleksfördelning) beräknade enligt den första metoden inprickats i diagrammet (d/d_max)_med för samma profiler, men beräknad efter den i fortsättningen använda metoden. Som synes ligga punkterna väl samlade kring medelkurvan. I detta sammanhang påpekas de ovan nämnda diskontinuiteterna hos kurvorna. Den första av de ovan nämnda metoderna att beräkna d/d_max med torde vara den matematiskt mest riktiga. I detta fall bör dock den andra metoden ge ett ur aerodynamisk synpunkt mera representativt medelvärde för tjockleksfördelningen.

2. Välvningsfördelning (Medellinje)
Välvningsfördelningarna eller medellinjernas form för profilerna 1-8 framgå av diagram 5. Även här kan man urskilja två typer. Den ena av dessa representeras av profilerna 1, 2 och 6 och har max. välvning f_max vid ca: 45 % av kordan. Den andra typen har f_maxvid ca: 35 % av kordan och representeras av profilerna 3, 4, 5, 7 och 8. Dessa båda typer ha nu behandlats analogt med bearbetningen av tjockleksfördelningarna ovan, i det att en främre och en bakre medelkurva beräknats och uppritats för varje typ av medellinje._{D. Systematik}De under punkt C ovan beräknade medelkurvorna för tjockleks- och välvningsfördelningarna skola nu givas matematisk form. Uppgiften är att söka y=f(x), så beskaffad att den erhållna kurvan så nära som möjligt sammanfaller med den givna.
1. Tjockleksfördelning
a. Allmänt.
För tjockleksfördelningarna göras nu följande ansatser och uppställas följande villkor.

_{Villkor 1 anger ett visst värde på krökningsradien vid x=0 motsvarande nosradien}påprofilen. r_o erhålles ungefärligt ur den givna medelkurvan. Villkor 2 och 3 ange max. punkten. r₁erhålles ävenledes ur den givna kurvan.

Villkor: 1. x=0; y_d=y_o=b_o
2. x=1; r=r₂ 3. x=1; y_d=1
4. x=1; y´_d=0
Villkor 1 anger tjockleken vid bakkanten. Villkor 2 anger krökningsradien vid max.-punkten. Detta värde (r₂) kan erhållas ungefärligt ur given kurva. Avsikten med detta villkor är att erhålla ett värde på r₂ som motsvarar värdet r₁ för främre delen ovan. Detta villkor är alltså ett kontinuitetsvillkor vid d_max. Villkor 3 och 4 anger max.-punkten.
Av de givna villkoren erhållas för främre resp. bakre delen 4 st. ekvationer för bestämmandet av konstanterna a_o-a₃ resp. b_o-b₃, varefter de båda polynomen anta följande form:
Man har här således två uttryck, varav det ena representerar halva tjockleken hos främre delen framför profilens maxtjocklek och den andra halva tjockleken bakom samma punkt. De båda ur dessa uttryck erhållna kurvorna åskådliggöras i fig. 6 nedan

Främre delen Bakre delen

Fig.6 Dimensionslös tjockleksfördelning

I de båda uttrycken för y kunna f₁(x), f₂(x) och f₃(x) beräknas en gång för alla för vissa x-värden. Man ger därefter parametrarna r_o, r₁, b_o och r₂ (r₁) sådana värden att de erhållna kurvorna så nära som möjligt sammanfalla med de givna medelkurvorna. Tjocklekskoordinaterna (x/h) för en profil med max tjockleken d_max och dess läge x_d_max, båda i delar av kordan, erhållas sedan enl. följande.
0£x£x_d_max: x= x_d_max•x
±h_d= y_d(x)•d_max/2

x_d_max£x£1 x=1-(1-x_d_max)•x
± h_d=y(x)•d_max/2

Bestämning av parametrarna r₀, r₁, r₂, och b₀:
r₀ och r₁ kunna först väljas med ledning av den givna medelkurvan, ur vilken de båda krökningsradierna på ett ungefär erhållas grafiskt.
Sedan man funnit ett lämpligt r₁ för den främre delen erhålles motsvarande r₂ för den bakre delen enligt följande formel: r₂=k_d²•r₁därk_d=x_d_max/(1-x_d_max) och x_d_max betecknar max-tjocklekens värde i delar av kordan.
Värdet på b_o blir helt beroende av vilken tillverkningsnoggrannhet man kan fordra vid profilens bakkant. Om b_o sättes = 0,04 y_max erhålles för en symmetrisk profil med kordan t=1dm och d_max =8% av t: Bakkanttjocklek = 0,04•0,08•100=0,32 mm. Detta torde vara ett normalt värde varför b_o kan antagas vara av storleksordningen 0,04.
b) Tjockleksfördelning typ DI.
Profilerna 1, 2, 3, 4, 5: (x_d_max)_med=0,18. Här visar det sig svårt att för bakre delen erhålla en kurva enligt ovan angivna metod, som nära sammanfaller med den givna medelkurvan för profilerna. Bästa lösningen erhålles då bakre delen utgöres av en rät linje. Tjockleksfördelningen av typ DI definieras således enligt följande. Den följer med max.punkten i (1/1) funktionen

till inflexionspunkten i x=1,54 (x=0,277) samt övergår därefter i en rät linje till bakkanten, vars läge definieras av:
x=5,55 (x=1)
y=0,038
f₁,f₂ och f₃ ha betydelse enligt ovan.
r₀=0,465
r₁=1,2
Den sålunda matematiskt definierade tjockleksfördelningen är uppritad i diagram 6 tillsammans med motsvarande medelvärden för profilerna 1, 2, 3, 4 och 5.
c) Tjockleksfördelning typ DII (profiler 6, 7, 8)
Emedan läget av d_max varierar mellan 26 och 35 % för dessa profiler har medelvärdena för d/d_max beräknats först sedan koordinatomvandling för varje profil skett, d.v.s. sedan x_d_max satts =1. d/d_max-värdena för dessa profiler finns uppritade i systemet x_d_max=y_d_max=1 i diagram 7. Där framgår tydligt att tjockleksfördelningen hos profil 7 mer motsvarar typ DI i den här uppritade formen. Detta skulle medföra en tredje typ av tjockleksfördelning med d_max läget vid 35% som hos profil 7. Emellertid kan man beräkna nosradien hos en profil med denna tjockleksfördelning och ett d_max av 0,08t där t=1dm. Denna nosradie skulle bli 0,18 mm. Man inser omedelbart att det är omöjligt att tillverka en modell med så liten nosradie, om ett rör med tryckuttag skall inläggas vid framkanten. Med denna motivering uteslutes här profil 7. För profilernas 6 och 8 medelkurva erhålles matematiska samband enligt 1a) ovan. Följande värden på parametrarna ha befunnits lämpliga.
r_o=1,4 r₁=2,4 r₂=0,335 b_o=0,03
Med dessa värden på parametrarna ha funktionssambanden uppritats i diagram 8, där man även kan jämföra reultaten med medelvärdena för profilerna 6 och 8. De matematiska kurvorna stämma som synes väl med givna medelkurvor, utom långt bak, där dock medelkurvan har en omotiverat stor krökning uppåt.
2. Välvningsfördelning (medellinjens form)
a) Allmänt.
För medellinjerna göras följande ansatser och uppställes följande villkor:
Främre delen: y_f=c₁x+c₂x²+c₃x³+c₄x⁴
Villkor: 1) x=0; y´_f=K₁
2) x=1 y_f=1
3) x=1 y´_f=0
4) x=1 R₁=-(1/y´´_f)

Bakre delen: y_f=d₁x+d₂x²+d₃x³+d₄x⁴Villkor: 1) x=0; y´_f=K₂
2) x=1 y_f=1
3) x=1 y´_f=0
4) x=1 R₂=-(1/y´´_f)
Av villkoren erhålles för varje del fyra ekvationer för bestämning av c₁-c₄ resp. d₁–d₄.
Med de sålunda bestämda konstanterna insatta erhålles ekvationerna i följande form.
Främre delen: y_f=F₁(x)+K₁•F₂(x)+F₃(x)/R₁ Bakre delen: y_f=F₁(x)+K₂•F₂(x)+F₃(x)/R₂
där F₁(x)=x²(6-8x+3x²)
F₂(x)=x(1-x)³

Analogt med vad som gäller för tjockleksfördelnningen ovan, kan här F₁(x), F₂(x) och F₃(x) beräknas en gång för alla för vissa x-lägen. Parametrarna K₁, R₁, K₂, och R₂ ges därefter sådana värden att de erhållna kurvorna y_f _fså nära som möjligt sammanfalla med givna medelkurvor. Medellinjens koordinater hos en profil med max välvning = f_max vid läget x_f_max (båda i delar av kordan) erhålles sedan ur:
0£ x£x_f_max: x= x_f_max•x
h_f=f_max•y_f(x)
x_f_max£x£1 x=1-(1- x_f_max)•x
h_f=f_max•y_f(x)
Bestämning av parametrarna K₁, R₁, K₂, och R₂:
Ungefärliga värden på K₁ och R₁ erhålles grafiskt ur given medelkurva, varefter de justeras på lämpligt sätt tills god överensstämmelse med densamma erhålles.
Sedan lämpligt värde på R₁ erhållits omräknas detta till bakre delen enligt följande formler:
R₂=k_f²•R₁
k_f=x_f_max/(1-x_f_max)
Ungefärligt värde på K₂ erhålles grafiskt ur given medelkurva.

b) Medellinje typ FI
Profilerna 3, 4, 5, 7, 8. (x_f_max)_med = 0,358.
God överensstämmelse med givna medelkurvor har erhållits med följande värden på parametrarna:
K₁=3,0 R₁=0,7 K₂=1,6 R₂=0,3
Diagram över de erhållna funktionerna samt givna medelvärden återges i diagram 9.

c) Medellinje typ FII
Profilerna 1, 2, 6. (x_f_max)_med =0,453.
Här erhålles bästa överensstämmelse med parametervärdena:
K₁=2,5 R₁=0,5 K₂=1,6 R₂=0,4
Kurvor finnas uppritade tillsammans med givna medelvärden i diagram 10.

E. Sammanställning av profiler
De båda typerna av tjockleks- resp. välvningsfördelningar åskådliggöras i diagram 11-14.
Tabell II utgör en sammanställning av de ursprungliga profilerna med deras viktigaste data:

Tabell II

Profil f_max x_f_max d_max x_d_max % % % %
1 7,85 45 8,65 18
2 7,00 46 10,9 21
3 7,12 36 8,48 16
4 6,00 35 7,8 18
5 6,78 37 8,0 16,5
6 6,34 45 5,3 30
7 6,00 37 7,1 35
8 7,20 34 5,0 26

Enligt ovan ha urskilts två typer av tjockleksfördelningar DI och DII med
x_d_max = 0,18 resp. 0,30 samt två typer av medellinjer FI och FII med x_f_max= 0,35 resp. 0,45. Härav äro fyra kombinationer möjliga. Av dessa har dock kombinationen FI-DII d.v.s. med max. välvning belägen långt fram och max. tjocklek långt bak av naturliga skäl uteslutits.
Enligt tabell II varierar f_max och d_max något för profilerna 1-8. De för den fortsatta undersökningen utvalda representativa profiltyperna ha dock försetts med samma max. välvning resp. tjocklek. Detta har gjorts för att erhålla större möjligheter för inbördes jämförelse beträffande inverkan av max.-välvningens och max tjocklekens läge i kordled.
De utvalda representativa profilernas huvuddata återges i tabell III.

Tabell III

Profil Medell. Tjockleksf. f_max% x_f_max% d_max% x_d_max% Nosr.%
A FI DI 7,0 45,0 8,0 18,0 0,405
B FII DII 7,0 45,0 8,0 30,0 0,736
C FI DI 7,0 35,0 8,0 18,0 0,396

Nosradien har beräknats enligt formeln r_o=r´_ocosq_o där r´_o = nosradien hos en symmetrisk profil och q_o = lutningen hos medellinjen i x=0. Formeln gäller ej exakt, ty de ifrågavarande profilformerna ha erhållits genom direkt koordinatöverlagring, medan formeln egentligen gäller då profilformen erhållits genom inlagda cirklar med sitt centrum på medellinjen. Avvikelsen är dock obetydlig.
Utseende av profilerna A, B och C framgår av figurblad 2, där ävenledes profilernas koordinatvärden finnas tabellerade.
IV. TEORETISKT STUDIUM AV DE VALDA PROFILERNA.
De tre profilerna A, B, och C, vilka erhållits ur profilsystematiken ovan, ha blivit föremål för teoretiskt studium i och för beräkning av aerodynamiska data samt tryckfördelningar vid olika anfallsvinklar.
A. Beräkning av a_o, a_idealoch c_m_o medelst Munks formler
Enligt de av M. Munk uppställda metoderna för beräkning av tunna vingprofilers aerodynamiska data (ref 5, Kap. B, II, 2, d) ha nollvinkel, ideal anfallsvinkel samt nollmoment beräknats. Resultaten återgivas i tabell IV.

Tabell IV

Profil a_o a_ideal c_m_o
A -6,95° 1,17° 0,205
B -6,95°1,17° 0,205
C -6,26° 2,79° 0,205

Profilerna A och B erhålla samma värden ty beräkningsmetoden tar endast hänsyn till medellinjens form och dessa profiler ha samma medellinje. Att c_m_o har blivit lika för alla tre är däremot en ren tillfällighet.

B. Beräkning av tryckfördelningar enligt Theodorsen-Garrick- Pinkerton
Tryckfördelningar vid olika anfallsvinklar ha beräknats i enlighet med den av Theodorsen och Garrick uppställda teorin (ref 6 och 7). Korrektion för gränsskiktets inflytande har gjorts enligt Pinkerton (ref. 8). För beräkning av e-funktionen har den av I. Naiman (ref. 9) angivna metoden använts.
De sålunda teoretiskt beräknade tryckfördelningarna äro återgivna i diagram 15, 16, och 17. Av diagrammen framgår att tryckfördelningarna erhålla samma typutseende för profilerna A, B och C. De för profil C beräknade diskuteras nedan i samband med de experimentellt erhållna tryckfördelningarna (se kap IX B.2.)

V. FÖRSÖKSAPPARATUR
A. Modellkonstruktion.
Uppgifter för tillverkning av modeller för den experimentella delen av undersökningen erhållas ur kap. III ovan samt ur figurblad 2.
De tillverkade modellerna voro av två typer, en med och en utan “tryckrör. Den senare har tillverkats speciellt för strömningsundersökninngen. Detta har gjorts för att undvika störningar på grund av de ytojämnheter som uppstår vid tryckhålen.
Tryckhålens placering framgår av figurblad 3. “Tryckmodellen” har ytbehandlats med cellulosalack och högglanspolerats, medan för “strömningsmodellen” den engelska konsthartsprodukten Phenoglaze använts. Denna har nämligen visat sig motståndskraftig mot de preparat som användas för gränsskiktsundersökning enligt China-Clay-metoden.
Enligt kap.III anges nosradien för profil C till 0,004◊100 = 0,4 mm. Tillverkade modellers nosradie är dock ca. 0,6 mm, beroende på att tryckrör inlagts i framkanten. Detta var nödvändigt för att överhuvud taget erhålla ett tryckuttag vid profilnosen. Profilkoordinaterna hålla en tolerans av ± 0,05 mm. Vid kontrollmätning av tryckhålens lägen visade sig största avvikelsen vara 0,2 mm.
Modellerna, som utformats i päronträ, ha tillverkats av Flygtekniska Försöksanstalten, Ulvsunda.
B. Vindtunnel.
Mätningarna ha utförts i en öppen tvådimensionell vindtunnel, mätsträcka 120x500 mm. Denna hade ett enkelt inströmingsmunstycke (se fig. 7) med åtföljande dålig hastighetsfördelning och troligen hög turbulens. För att förbättra båda dessa saker konstruerades en ny inloppsdel med ett areaförhållande på 1:12. Väggarnas konturer bestämdes enligt en metod för tvådimensionell strömning, angiven av Lighthill (ref. 10, sid 40). Kontraktionen gjordes 1:2 på höjden och 1:6 på bredden.Se vidare figurblad 4. I det tvådimensionella fallet är hastigheten längs väggen ständigt stigande. Vidare försågs inloppet med 5 st. nät för förbättring av hastighetsfördelning och turbulens (se ref. 11). Installationen bestod av fyra nät nr 60 (60 maskor per tum, tråddiam. 0,14 mm) med ett inbördes avstånd av 50 mm, samt ett nät nr 120 (120 maskor per tum, tråddiam. 0,09 mm) 120 mm bakom det sista nätet nr 60. Resultatet av ombyggnaden framgår av fig. 8 och 9. Diagram 18 visar hastighetsfördelningen före och efter ombyggnaden Hastigheten utanför gränsskiktet är i det senare fallet konstant inom mätnoggrannheten.
Referenshastigheten mättes med ett pitotrör placerat ungefär mitt emellan kontraktionens slut och mätsnittet. Även denna hastighet var lika med hastigheten i mätsnittet. Detta visar att mätsnittet med fördel kunnat placerats närmare kontraktionsdelens slut. Med hänsyn till den jämna hastighetsfördelningen kan man på goda grunder antaga att turbulensnivån i tunneln är relativt låg. Då apparatur för turbulensmätning ej funnits tillgänglig har dock något mått på turbulensgraden ej kunnat erhållas.
Vingmodellerna voro fastkilade i två cirkelrunda 7 mm tjocka plexiglasskivor med den undre tangentkordan vilande mot en diameter i skivan. Inställningen av olika anfallsvinklar skedde med en arm som med sitt referensplan också vilade mot profilens undre tangentkorda. Plexiglasskivorna voro vridbara i fattningar i tunnelväggen. Se bild 8 och 9.
Grovreglering av hastigheten skedde med ett stegmotstånd i elmotorns ankarlindning och finreglering med ett spjäll i fläktens avloppsdiffusor.

C. Mätapparatur.
För mätning av profilens motstånd kontruerades en impulskratta bestående av 17 totaltryckrör och 1 statiskt (se fig. 10). Avståndet i höjdled mellan de 5 mittersta rören är 1 mm. För att rören ej skulle störa varandra fingo de därför spridas i sidled.
Största svårigheten var dock att kunna mäta de låga trycken vid de lägsta Reynoldska talen. Den lägsta hastigheten (R=20 000) motsvarar ett stagnationstryck av 0,7 mm spritpelare. För impuls och tryckmätningarna konstruerades en multimikromanometer bestående av 25 st. glasrör, innerdiameter 3 mm, se fig 11. Manometerplattan var vridbar kring den nedre fästpunkten och kunde inställas i lutningarna 1:1, 1:2, 1:5, 1:10 och 1:25, varigenom lämpligt mätområde kunde väljas för olika hastigheter. Mätnoggrannheten har bedömts till bättre än ±2% vid de ogynnsammaste fallen. Manometertrycken fotograferades på småbildsfilm och utvärderingen skedde med hjälp av en projektionsapparat. Referenshastigheten avlästes på en Prandtl-manometer med en avläsningsnoggrannhet av 0,05 mm spritpelare.

Fig. 10 Impulskratta Fig. 11 Multimikromanometer

VI. UTVÄRDERINGSMETODER
A. Bestämning av koefficienter för lyftkraft och moment.
För bestämning av koefficienter för lyftkraft och moment har tryckfördelningen kring profilen erhållits genom uppmätning av trycken i ett antal tryckuttag (16 st.) placerade längs profilens yta. Vid respektive mätpunkters projektion på kordalinjen ha motsvarande tryck uppritats och den genom sammanbidning av mätpunkertna erhållna kurvan har integrerats med en integrator. Härvid erhålles om friktionskrafterna försummas, dels normalkraftskoefficienten c_N dels motsvarande moment c_mN enligt

c_Nskiljer sig vid icke allt för stora a relativt litet från c_L. Samma sak gäller c_mNrelativt c_m(se ref.12, s.19). c_Noch c_m_N ha därför begagnats vid resultatens angivande.
B. Bestämning av motståndskoefficient.
Profilmotståndskoefficienten c_D har bestämts genom impulsmätning varvid utvärdering skett enligt en metod angiven av Silverstein & Katzoff (ref. 13).
Härvid gäller:

k = korrektionsfaktor enligt Silverstein-Katzoff._{C. Vindtunnelkorrektion.

Då beräkning av vindtunnelinterferens på profilegenskaperna är en mycket komplicerad sak, med osäkert resultat, har hänsyn härtill ej tagits vid resultatens angivande, särskilt som dessa i första hand ha ett kvalitativt och ej kvantitativt värde.

VII. FÖRSÖKSPROGRAM}Inom ramen för detta examensarbete har endast profil C undersökts experimentellt.
Mätningarna ha utförts vid sex olika Reynolds tal: R = 20 000, 27 000, 75 000, 105 000, 138 000 och 206 000. På grund av besvärligheten att omställa den lutande manometern har mätningarna utförts som polarmätning d.v.s. med konstant hastighet och variation av anfallsvinkeln.
Dessutom har en kompletterande undersökning av det kritiska R-området utförts med konstant anfallsvinkel och varierande hastighet. Denna har utförts vid tre anfallsvinklar a= 8,2°, 9,2° och 10,2°.

VIII. ERHÅLLNA RESULTAT De erhållna experimentella resultaten ha åskådliggjorts genom ett antal i kurvform uppritade funktioner enligt nedanstående tabell.

Tabell V

Funktion Parameter Diagram
c_N=f(a) R 19
c_mN=f(a) R 20
c_Do=f(a) R 21
c_Do=f(c_N) R 22
e=f(a) R 23
k=f(a) R 24
c_Nmax=f(R) 25
c_Domin=f(R) 25
e_min=f(R) 25
k_min=f(R) 25
c_N=f(R) a 26

Resultatdiagrammen återfinnas i en särskild diagrambilaga. Kurvorna gälla för oändligt sidoförhållande. Att anfallsvinklarna i diagrammen alltid sluta på ,2° beror på att dessa vid körningarna inställts i förhållande till profilens undre tangentkorda och sedan korrigerats till den enligt kap. III definierade profilkordan. I de fall då Reynolds tal är parameter ha kurvorna identifierats med följande symboler:
R=20 000
R=27 000
R=75 000
R=105 000
R=138 000
R=206 000
De olika kurvorna bli nedan föremål för en kort diskussion.

IX. DISKUSSION AV FÖRSÖKSRESULTATEN
A. Diskussion av resultatkurvor.
1. Lyftkraftskurvor (Diagram 19)
Dessa kurvor visa den för låga R vanliga variationen i lyftkraftskurvans lutning. Sålunda har man vid låga anfallsvinklar en profilverkningsgrad som är större än 1. Detta sammanhänger med lokala avösningsfenomen. Av diagram 27, som visar tryckfördelningen längs översidan vid R= 20 000, framgår att vid a=-2,8° har man avlösning från ungefär 70% av kordan och bakåt. Vid a= +1,2° har avlösningspunkten flyttats framåt till ung. 50% men i stället har man fått återanliggning längst bakersta delen. Detta förklarar den stora lyftkraftsökningen mellan a= -2,8° och +1,2°. Troligen har återanliggningen börjat redan vi a=0° att döma av c_N(a) kurvan, men återanliggningspunkten har då ej nått fram till bakersta tryckuttaget. Vid a=5,2° har omslagsvirveln krympt samman något och ligger nu mellan 30-50% av kordan. Vid a=7,2° har c_N_max överskridits och avlösningen är åter total efter laminära avlösningspunkten. Jämför även med fig. 12 som visar några försök att med rök (titantetraklorid) åskådliggöra strömningsförloppet.
Beträffande tryckfördelningen i omslagspunkten se ref. 15, s 429 och 430. Se vidare ref. 15, s 458-461 angående cirkulationens uppkomst samt ref. 14, s 11-27 som är en tillämpning på denna teori.
Överstegringen visar ett mjukt förlopp såväl i det underkritiska som det överkritiska området. I det underkritiska området sammanhänger detta troligen med den lilla skillnaden mellan det stora omslagsområdets och den totala avlösningens utsträckning (diagram 27). I det överkritiska området inträder den vanliga från bakkanten börjande turbulenta avlösningen resulterande i en tämligen mjuk överstegring (diagram 28). Inom det kritiska området växlar däremot strömningsbilden från anliggande med en mindre omslagsvirvel till total laminär avlösning resulterande i in häftig lyftkraftsförlust (diagram 29). Typiskt är att lyftkraften sjunker till ett värde motsvarande underkritisk strömning.
Ett annat intressant fenomen är att inom det överkritiska området c_N_max minskar med ökande R. Denna egendomlighet har tidigare observerats på profilen Göttingen 387 men har ej kunnat tillfredsställande förklarats. En hypotes är att det tidigare omslaget, förorsakat av ett högre R, skulle medföra ett förtjockat gränsskikt och därmed tidigare avlösning (se ref. 15, s 443, 464, och 75).
2. Momentkurvor (diagram 20)
Momentkoefficienten är refererad till 25%-punkten på den teoretiska profilkordan. Kurvorna visa i stort sett samma inbördes förlopp med en kraftig ökning av det anfallsminskande momentet i området a=-5° till a=0° sammanhängande med förut nämnda avlösningsfenomen, därefter en svag minskning för att sedan efter överstegringen åter öka mer eller mindre kraftigt. Så när som på några mindre oregelbundenheter visar momentkurvorna god samstämmighet med lyftkraftskurvorna. Inom det för flygning aktuella anfallsvinkelområdet är profilen ej egenstabil (dc_m/da>0).
Den vid a=10° uppträdande knycken för R=105 000 och 138 000 får sin förklaring i nästa avsnitt.
3. Motståndskurvor (diagram 21)
Då motståndet har mätts med impulsmetoden är de stora motståndsvärdena vid total avlösning något osäkra på grund av metodens begränsning.
I det underkritiska och kritiska området visa kurvorna ett normalt förlopp så när som på att för R=20 000 och R=27 000 dessa skära över varandra så att vid låga anfallsvinklar motståndet ökar med R. Att med ledning av tryckfördelningarna förklara detta har ej lyckats. Vid a=0,2° visa dessa total avlösning vid R=20 000 men begynnande återanliggning längst bak vid R=27 000, vilket borde ha givit ett motsatt resultat. Möjligen beror det på impulsmetodens begränsning (dödluftsområdet är vid de två lägsta R synnerligen brett och oregelbundet) ty avvikelserna ligga ej inom den övriga mätnoggrannheten.
I det överkritiska området visa kurvorna två egendomligheter. Den ena är att kurvorna vid höga anfallsvinklar skära över varandra. Detta är emellertid i full överensstämmelse med den minskning av c_Nmax med ökande R som framgick redan av lyftkraftskurvorna. Den andra egendomligheten är det relativa motståndsmaximum som uppträder vid a=8 á 9°. Ett studium av motsvarande tryckfördelningar vi R=105000 (diagram 30) kan ge anledning till följande hypotes. Vid lägre anfallsvinkel a=5,2° ligger omslagspunkten omedelbart efter den laminära avlösningspunkten. Vid ökad anfallsvinkel, a=9,2°, då den positiva tryckgradienten blivit betydligt större uppstår en utbredd omslagsvirvel resulterande i ökat motstånd. Ungefär samtidigt uppträder den lokala sugtoppen vid nosen som vid ytterligare ökad anfallsvinkel växer och tydligen underlättar omslaget. Vid a=11° har nämligen omslagsvirveln och därmed även motståndet miskat. Att gränsskiktet dock fortfarande är laminärt fram till omslagsvirveln framgår av figur 13 som visar en undersökning enligt China-Clay-metoden. Vid a=12,2° har tydligen den första sugtoppen nått en sådan storlek att den ensam förorsakar omslaget ty omslagsvirveln har nu helt försvunnit vilket också har resulterat i ytterligare minskat motstånd.
4. Polarkurvor (diagram 22)
Dessa förete blott en egendomlighet utöver de förut diskuterade. Slingorna omkring c_Nmax avspegla det förhållandet att motståndet minskar även en bit förbi lyftkraftsmaximum. Det verkar ju ganska orimligt att motståndet skulle minska vid begynnande avlösning och fenomenet beror troligen på att motståndsmätningarna gjorts på en modell utan tryckuttag. Det kan då vara troligt att tryckuttagen givit tillräckligt stora störningar för att påskynda avlösningen så att denna börjar vid en lägre anfallsvinkel än för den släta modellen.
5. Glidtal och Sjunktal (diagram 23 och 24)
Dessa båda kurvor avspegla i stort sett motståndskurvorna men genom att de ställts i relation till lyftkraften så blir inverkan av Reynolds tal mer markant. I det underkritiska området visa kurvorna för e och k ett markant minimum, men i det överkritiska området äro båda dessa kvalitetstal tämligen konstanta inom ett stort anfallsvinkelområde,vilket givetvis är mycket fördelaktigt.
6. Profilens kvalitetstal som funktion av Reynolds tal (diagram 25)
c_N_max visar en brant ökning upp till R=100 000, där c_N_max=1,53, för att därefter sakta minska med ökande R. De övriga visa en konstant minskning med ökande R, dock är denna minskning mindre markant för R >100 000 särskilt beträffande k_min.
7. Bestämning av profilens R_krit
Med ledning av diagram 25 skulle man kunna bestämma profilens kritiska Reynolds tal till R_krit=100 000. Emellertid är R_krit i så fall definierat som det R där det helt överkritiska området börjar. Detta överensstämmer ej med Schmitz´ definition, som i stället med R_krit menar det R där övergången till överkritisk strömning börjar. Detta är emellertid svårt att bestämma ur diagram 25. Med anlednig härav gjordes en speciell undeersökning av det kritiska området. Avsikten var även att bestämma huruvida omslaget visade någon hysteresiseffekt. Resultatet framgår av diagram 26, som visar c_N=f(R) vid tre olika anfallsvinklar. För a=8,2° var det omöjligt att på manometern upptäcka något markant omslag vid någon viss hastighet. För a=8,2° och 9,2° fanns ett begränsat område med en storlek av ∆R=2 á 3000 där tillståndet var synnerligen labilt och strömningen pendlade mellan anliggande och avlöst. Vid a=10,2°och däröver kunde en tydlig hysteres bestämmas omspännande för a=10,2° området 25 000≤R≤115 000. Med Schmitz´ definition skulle alltså R_kritför profilen vara 65 000 där omslaget börjar för a=8,2°.

B. Jämförelse med de teoretiska beräkningarna.
1. Munks formler
Betraktas lyftkraftskurvan (diagram 19) finner man att profilens nollriktning i det underkritiska området är a_o=-2,6° och i det överkritiska a_o=-4° mot det beräknade a_oteor=-6,26°. Denna stora avvikelse beror givetvis på de lokala avlösningsfenomenen vid lägre anfallsvinkel vilket gör att en teori grundad uteslutande på medellinjens form ej håller streck. Vid tillräckligt höga R har man emellertid anledning att förmoda att en uträtning av c_N(a)-kurvan äger rum. Om man därför utdrager kurvan för R=206 000 inom området 0°< a<9° nedåt till c_N=0 kan man antas få ett närmevärde för a_o för höga R vilket givetvis bör stämma bättre med teorien. Förfares enligt ovan fås a_o=-7,4°. Avvikelsen från det teoretiska värdet blir alltså mindre i det senare fallet men är ändå tämligen stor. Detta torde bero på, dels att profilen har en viss tjocklek (8%) dels att den är relativt mycket välvd (7%). Munks formler grunda sig ju på antagandet att profilen har liten välvning och att den är oändligt tunn.
Det teoretiskt beräknade värdet på a_ideal stämmer ganska bra med de experimentellt erhållna värdena. Således ligger för de fyra högsta R-värdena a_ideal experimentellt mellan 2° och 3° medan teoretiskt a_ideal=2,79° (jmf. diagram 21). För de två lägsta R-värdena är motståndsminimet troligen rätt osäkert men läget avviker dock föga från det teoretisk beräknade. Att de teoretiska och experimentella värdena för a_ideal stämma bättre överens än för a_o är ganska naturligt då vid den ideala anfallsvinkeln strömningen kring profilen är jämnast och anledning till avvikelse från de teoretiska förutsättningarna minst.
Det fall, då Munks formler ge sämsta resultatet, är vid beräkning av tippmomentet. Enligt dessa är momentet kring c/4-punkten konstant och lika med c_m_o. Det teoretiskt beräknade värdet c_m_o=-0,205 är emellertid inte ens tillnärmelsevis av samma storleksordning som de experimentellt erhållna momentvärdena utan ända upp till 100% större. En integrering av profilens teoretiska tryckfördelningar i diagram 17 och 31 ger ett moment som i området 2°<a<10° håller sig ganska konstant omkring c_m_N=-0,12, mot vilket värde kurvorna i diagram 20 tydligt tendera vid ökande R.
Sammanfattningsvis kan sägas att Munks formler lämpa sig dåligt för fall som detta.
2. Tryckfördelningsberäkningar enligt Theodorsen-Garrick-Pinkerton
De teoretiskt beräknade tryckfördelningarna finns återgivna i diagram 15, 16 och 17. Då tryckfördelningarna för profilerna A och B principiellt likna de för profil C och tillräckliga experimentella erfarenheter änu ej vunnits för att kunna bedöma detaljavvikelsernas inverkan på profilegenskaperna bli dessa tryckfördelningar här ej föremål för någon diskussion utan ha endast medtagits såsom orientering. Anmärkningvärt är dock att de erhållit det enligt kap. II önskvärda förloppet.
För profil C har jämförelse gjorts mellan de teoretiskt och experimentellt erhållna tryckfördelningarna för två anfallsvinklar och flera Reynoldska tal. Då man kan förmoda att de teoretiska och experimentella tryckfördelningarna stämma bäst överens för höga R har dessa jämförts för R=206 000 och a=5° och 10°. De teoretiska tryckfördelningarna gälla för a=5° resp. 10° medan de experimentella avse a=5,2° resp. 10,2° (se kap.VIII). Inverkan härav är dock obetydlig.För a=5° visa tryckfördelningarna en förbluffande god överensstämmelse. Den enda avsevärda avvikelsen är vid x=30% av c och detta beror på det här belägna omslagsområdet. För a=10° är överensstämmelsen ej fullt så god troligen beroende på begynnande avlösning vid bakkanten. Detta antagande stödes även av lyftkraftskurvans utseende (diagram 19) som visar att lyftkraften har sitt maximum vid a=10° och att avlösningen då har börjat. Den experimentella tryckfördelningens ordinator äro dock, utom i omslagsområdet proportionella mot den teoretiska vilket antyder att vid helt anliggande strömning överensstämmelsen blivit lika god som för a=5°.
De experimentella tryckfördelningarnas beroende av R visar sig framför allt i ett hopsjunkande av desamma med minskande R beroende på den cirkulationsminskning som förorsakas av omslagsområdets ökning. Detta framgår tydligt av diagram 32 som visar tryckfördelningarna för a=5° och R=20 000, 75 000, 105 000 och 206 000. Här synes hur tryckfördelningen krymper ihop samtidigt som omslagsområdet ökar med minskande R. Diagram 33 visar tryckfördelningarna för a=10° och samma R som i förra fallet. För de två högsta R-värdena gäller vad som sagts ovan för a=5°. Vid de två lägsta R-värdena har däremot en radikal förändring inträtt. I samband med den totala avlösningen har tryckfördelningen dels katastrofalt sjunkit ihop dels förändrats så att sugtoppen vid nosen helt försvunnit. Båda fenomenen sammanhänga med den minskade cirkulationen vid avlösning. Att sugtoppen försvunnit beror sålunda på att den främre stagnationspunkten vandrat så mycket tillbaka att någon omströmning kring nosen ej längre sker.
Sammanfattningsvis kan sägas att den använda metoden även vid låga R lämpar sig för att kvalitativt beräkna en profils tryckfördelning så länge ej någon total avlösning förekommer. Kvantitativt riktiga resultat är dock svåra att få beroende på lokala avlösningsfenomen.

C. Jämförelse med några av Schmitz' resultat.
För att få en uppfattning om huruvida den nu undersökta profil C kan anses vara lämplig för modellflygplan ha en jämförelse av några av dess egenskaper gjorts med de av Schmitz erhållna resultaten. Jämförelsen omfattar maximal lyftkraft samt glidtal och sjunktal vid olika R för profil C samt för Göttingen 417a och N60. Att jämförelse gjorts blott för dessa två beror på att dessa äro de bästa av de av Schmitz undersökta profilerna. Då samhörande värden för samma R ej funnits tillgängliga har i Schmitz' kurvor inritats våra resultat för närmast mindre R. De för samma R motsvarande maximipunkterna, erhållna ur diagram 25, har dock medtagits (markerade ◊).
1. c_Lmax (diagram 34)
Redan vid R=42 000 är profil C praktiskt taget jämbördig med den välvda plattan (G 417a) medan den medan den är betydligt överlägsen profil N60. Vid de båda högre Reynolds-talen är profil C markant överlägsen de andra. Ur denna synpunkt kan alltså profil C vara väl lämpad ned till det lägsta aktuella R-området.
2. Glidtal och sjunktal (diagram 35)
För jämförelse har ej använts e och k utan i stället 1/e =c_L/c_D₀ respektive 1/k²=c_L³/c_D₀² vilka storheter använts av Schmitz (ref 3, s 112). I ett diagram där 1/k² är uppritat som funktion av 1/e får men en god uppfattning av en profils lämplighet. I praktiken blir dock skillnaderna mindre då inducerat mostånd verkar utjämnande. Här framträder skilladerna mellan de olika profilerna mer markant än vid en jämförelse av lyftkraftskurvorna. Inom det lägsta R-området är den välvda plattan (G 417a) helt allenarådande. Profil C är dock betydligt bättre än N60 vars kurva ej kunnat inritas. Redan vid R=80 000 har dock profil C hunnit ikapp den välvda plattan (jämför max-punkten ◊) för att sedan vid ytterligare ökande R bli helt överlägsen de båda andra. Sammanfattningsvis kan alltså sägas att för R<80 000 den välvda plattan är den mest lämpliga. Att den senare jämförelsen blev så pass ofördelaktig för profil C vid låga R trots likvärdighet beträffande max lyftkraft beror på motståndets inverkan. Det större motståndet hos profil C torde bero på dennas betydligt större tjocklek (8%) mot den välvda plattans (2,9%). En minskning av profil C´s tjocklek skulle därför säkerligen utvidga profilens lämplighet mot mindre Reynolds tal.

X. SAMMANFATTNING
Ur åtta moderna vingprofiler för modellflygplan har utkristalliserats tre “normalprofiler” benämnda A, B och C erhållna ur två karakteristiska välvnings- och tjockleksfördelningar enligt nedanstående tabell.

Tabell VI

Profilparametrar
Mått i % av c

Profil Max tjocklek Max välvning Nosradie
d vid x f vid x r
A 8 18 7 45 0,4
B 8 30 7 45 0,7
C 8 18 7 35 0,6

För dessa har beräknats a_o, a_ideal och c_m_o samt deras teoretiska tryckfördelningar. Dessutom har profil C undersökts experimentellt varvid lyftkraft, motstånd och tippmoment bestämts i området 20 000<R<206 000. Mellan R=65 000 och R=105 000 genomlöper profilen ett kritiskt område där maximala lyftkraften kraftigt ökar och motståndet minskar. Profilen kan anses väl lämpad för modellflygplan med R>75 000.

XI. SAMMANSTÄLLNING AV ANVÄNDA BETECKNINGAR.

A. Geometriska Storheter

Symbol:
x och y Koordinater vid profilsystematisering
x och h Profilkoordinater
c Profilkorda
d Profiltjocklek i % av c
f Medellinjens välvning i % av c
r Krökningsradie i % av c vid profilsystematisering beträffande
tjockleksfördelning
R D:o beträffande välvningsfördelning
K Medellinjens lutning vid profilsysystematisering
r Profilens nosradie i % av c

B. Aerodynamiska storheter.

Symbol:
R Reynolds tal (vc/n)
R_krit Kritiskt d:o
v Vindhastighet
n Kinematisk viskositet
c_L Lyftkraftskoefficient
c_m_ac Momentkoefficient hänförd till profilens aerodynamiska centrum
c_N Normalkraftskoefficient
c_D_o Profilmotståndskoefficient
c_m_N Momentkoefficient hänförd till c/4.
c_m_o D:o vid c_L=0.
a Anfallsvinkel hänförd till profilens teoretiska korda
a_ideal D:o vid c_D_omina_oD:o vid c_L=0
p Statiskt tryck
p_o D:o i ostörd strömning
p_ö D:o längs profilens översida
p_u D:o längs dess undersida
q Dynamiskt tryck (rv²/2)
q_o D:o i ostörd strömning
∆p p-p_o
g Totaltryck p+q
g_o D:o i ostörd strömning
e Glidtal c_D_o/c_N
k Sjunktal c_D_o²/c_N³

XII. LITTERATURREFERENSER

1. Walthew, A. Airfoil data and their application in model design.
The Aeromodeller, Nov. 1938.
2. Anonym En undersökning av RAF 32 ned till 10 ft/sec, korda okänd.
Model Airplane News, Mars 1941.
3. Schmitz, F.W. Aerodynamik des Flugmodells. Tragflügelmessungen I.
Berlin, 1942.
4. Grant, C.H. Model Airplane Design and Theory of Flight.
New York, Sept 1944.
5. Gullstrand, T. Kompendium i Flygteknik.
1947-48.
6. Theodorsen, T. Theory of Wing Sections of Arbitrary Shape
NACA, TR No 411, 1932.
7. Theodorsen, T. General Potential Theory of Arbitrary Wing Sections.
Garrick, I.E. NACA TR 452, 1933.
8. Pinkerton, R.M. Calculated and Measured Pressure Distributions over the Midspan Section of the NACA 4412 Airfoil.
NACA TR 563, 1936.
9. Naiman, I. Numerical Evaluation by Harmonic Analysis of the e-function of the Theodorsen Arbitrary Airfoil Potential Theory.
NACA WR L-153, 1944.
10. Lighthill, M.J. A New Method of Two-dimensional Aerodynamic Design.
R&M 2112, 1945.
11. Schröder, H. Undersökning av möjligheten att förbättra turbulens- Flodin, S. förhållanden och hastighetsfördelning i vindtunnlar spec. KTH:s vindtunnel genom insättning av nät i tryckkammaren.
Examensarbete KTH, 1948.
12. Palme, H.O. Undersökning rörande inverkan av framkantklaff på
Stark, S. profilegenskaperna.
FL Rapport 93-58, 1948.
13. Silverstein, A. A Simple Method for Determining Wing Profile Drag in Flight.
Katzoff, S. J.A.S. May 1940.
14. Persson, P. Undersökning av vingprofiler lämpade för reversibla fläktar.
Stark, S. Examensarbete 20-20. KTH 1947.
15. Goldstein, S. Modern Developments in Fluid Dynamics.
(Editor) Oxford, 1938.

BILAGA TILL EXAMENSARBETE 20-32
Figurblad 1 Typiska modellflygplanprofiler (1948)
2 Utvalda modellprofiler
3 Tryckvinge
4 Skiss över KTH 2-dim. kanal

Diagram 1 – 14 Diagram för bearbetning av profiledata
15 – 17 Teoretiskt beräknade tryckfördelningar
18 Hastighetsfördelning i mätsnittet
19
20